9.3 Невзаимодействующие магнитные диполи в магнитном поле

Если мы имеем парамагнитные ионы с магнитным моментом μ и полным угловым моментом J, то при температуре Т каждый из (2J+1) энергетических уровней с энергиями Εm будет заселен в соответствии с

а статистическая сумма представляется в виде

Рассчитав один раз статистическую сумму, мы можем затем найти все требуемые термодинамические свойства, например

и, следовательно, магнитная восприимчивость χ = (∂M / ∂B)T нам также известна. Другими словами, если мы знаем энергии Εm, то все остальное можно рассчитать. К счастью, если мы принимаем модель невзаимодействующих магнитных диполей во внешнем магнитном поле, где Εm << kBT, то имеем

с электронным фактором Ланде

В соотношении (9.12)

— магнетон Бора, а m = –J,…, 0,…, +J — магнитные квантовые числа.

Таким образом, статистическая сумма для независимых магнитных диполей выражается как

с x = μBgB / kBT . После некоторых преобразований находим:

где Ms = N0 μB gJ — намагниченность насыщения, а правая часть в (9.15с) — функция Бриллюэна BJ(x). Эта функция протабулирована для разных J в [9.2,3]. Функция Бриллюэна BJ(x) = М / Ms для разных J показана на рис. 10.5 как функция х–1, а зависимость теплоемкости CB от x для разных J изображена на рис. 3.8,10 и 10.4. Эти результаты демонстрируют ранее упомянутый факт, что при выше изложенных предположениях энтропия является функцией только В/Т. Поэтому на рис. 9.1 энтропийные кривые просто смещаются, если мы изменяем поле. Кроме того, полученные результаты дают формулу (9.5), справедливую для идеального адиабатического процесса: S = const, и поэтому В/Т = const, означая, что начальные условия определяют конечное состояние.

Записанные выше уравнения, конечно, нельзя использовать в пределе Bf ⇔ 0, потому что при этом не будет выполняться предположение о пренебрежимости взаимодействия между моментами. При очень малых Bf мы должны в этих уравнениях заменить Bf эффективным полем

действующим на моменты, где b — внутреннее поле, возникающее за счет соседних моментов в парамагнетике. Это затем приводит к

Внутреннее поле b определяет минимальную температуру Тf,min , которую можно получить при размагничивании до Bf = 0. Наконец, мы находим, что намагниченность остается постоянной в процессе размагничивания или, другими словами, заселенности различных энергетических уровней не изменяются в процессе размагничивания (рис. 10.2). Изменяется только разность энергий, когда мы уменьшаем поле. Рис. 9.1 также показывает, что холодоемкость Q пропорциональна конечному полю Bf . Когда размагниченная соль поглощает тепло, должна измениться заселенность энергетических уровней, что означает переворот спина парамагнитных ионов. Ионы могут больше поглощать тепла, если изменение энергии на каждый переворот спина будет больше, т.е. если будет больше их расстояние между уровнями, которое пропорционально полю Bf .

Очень часто магнитная энергия μ μB B значительно меньше тепловой энергии kBT , или x << 1. В таком приближении нельзя полностью использовать (9.15), но можно пользоваться так называемыми высокотемпературными аппроксимациями. Эти аппроксимации приводятся в следующей главе, посвященной ядерному размагничиванию, для которого обычно выполняется условие x << 1, потому что ядерные моменты довольно малы.