7.1.4 Холодопроизводительность процесса растворения

Из измерений теплоемкостей (рис. 7.5) мы знаем, что энтальпия 3Не в разбавленной фазе больше, чем в концентрированной; теплоту смешения можно представить в виде

 for_01_07_17

На рисунке C - теплоёмкость, отнесённая к полному числу молей раствора (а не молей 3He!)

Если атомы 3Не переходят из концентрированной фазы в разбавленную фазу расслоившегося раствора с молярной скоростью потока n3, то охлаждение будет образовываться за счет разности энтальпий обеих фаз. Поскольку энтальпия выражается как

 for_01_07_18

(в пренебрежении PV членами, которые не важны и здесь, и в последующем рассмотрении), мы должны иметь

 for_01_07_19

для молярных теплоемкостей 3Не в обеих фазах, чтобы получить охлаждение за счет процесса растворения.

В обеих фазах, конечно, теплоемкости изменяются линейно с температурой при достаточно низких температурах, потому что они обе являются ферми-жидкостями (рис. 2.14, 7.5). Но коэффициенты перед Т у них разные. Жидкий 3Не является сильно взаимодействующей ферми-жидкостью, и существующие теории не позволяют рассчитать теплоемкость достаточно надежно для наших целей. Поэтому мы возьмем теплоемкость из недавних весьма точных экспериментальных данных Грейволла [7.26], который получил для температур ниже ~ 40 мК и давления насыщенных паров

 for_01_07_20

Величина С3/Т при Т < 40 мК не зависит от температуры в пределах около 4 %. (Согласно [7.26] величина С3/ = 2,78 при Т < 6 мК и уменьшается на ~ 4 % при Т = 40 мК и на ~ 8 % при Т = 60 мК.) Напомним, что это очень большая теплоемкость из-за низкой температуры Ферми 3Не. Например, молярная теплоемкость меди почти в 3·104 раза меньше за счет соответственно большей температуры Ферми (рис. 2.8; разд. 3.1.2). Затем для энтальпии 3Не мы имеем

for_01_07_21

Если нам нужна теплоемкость и энтальпия выше ~ 50 мК, то мы не можем использовать столь простые уравнения, потому что С3/Т ≠ const; чтобы получить Н3(Т), мы должны проинтегрировать экспериментальные данные для С3 [7.26].

Для рассчета энтальпии растворов мы можем, в принципе, следовать той же процедуре. Но в нашем рефрижераторе растворения мы имеем растворы с разными концентрациями (разд. 7.2), а теплоемкость измерена только при нескольких малых концентрациях 3Не [7.22-251. Расчетные термодинамические данные для жидких растворов 3Не4Не при x ≤ 8 % и Т < 250 мК были опубликованы в [7.27]. Однако очень мало известно о растворах с высокой концентрацией 3Не, которые циркулируют в рефрижераторе растворения (см. ниже). Конечно, наиболее важным является раствор в камере, где происходит охлаждение (см. ниже), и там мы имеем 6,5 % 3Не. К счастью, для растворов, где 3Не разбавлен гелием-4, справедлива модель слабо взаимодействующей ферми-жидкости, для которой хорошим приближением являются уравнения для ферми-газа с заменой массы тз свободного атома 3Не эффективной массой m*. Эта подстановка отражает влияние соседних атомов 3Не и 4Не, с которыми 3Не взаимодействует. Таким образом, при Т < TF /10 мы имеем следующее выражение для теплоемкости раствора, приходящейся на моль 3Не:

 for_01_07_22

с уравнением для фермиевской температуры

 for_01_07_23a

и для молярного объема растворов

 for_01_07_23b

где Vm,4 — молярный объем чистого 4Не [7.18].

Это означает, что теплоемкость на один атом 3Не в растворе увеличивается с уменьшением концентрации! Для одного моля раствора 3Не с концентрацией x мы получаем

 for_01_07_24

т.е. теплоемкость C’3,d растворов 3Не4Не увеличивается не пропорционально концентрации x, а пропорционально только x1/3. Эффективная масса m* слабо зависит от концентрации 3Не и для раствора
6,5 % при давлении насыщенного пара m* ≈ 2,5m3.

Это дает для температуры Ферми ТF(6,5 %) = 0,38 К, и мы находим, что теплоемкость 6,5 % раствора ниже 40 мК равна [7.22-25]

 for_01_07_34

Когда обе фазы находятся в термодинамическом равновесии, для химических потенциалов мы имеем

 for_01_07_26

Принимая во внимание, что

 

мы находим

 for_01_07_28

Тогда, с учетом (7.20,21,25), получаем

 for_01_07_29

Сочетая это с (7.21) для энтальпии чистого 3Не, мы рассчитываем холодопрозводительность на линии фазового расслоения, когда n3 молей 3Не за единицу времени переходят из концентрированной в разбавленную фазу

 for_01_07_30

При значении n3 = 100 мкмоль/с и Т = 10 (30) мК мы имеем

 for_01_07_31

В приведенном выше расчете я использовал недавние самые точные данные Грейволла [7.26] о теплоемкости чистого 3Не. Более ранние данные о теплоемкости растворов [7.22-25] гораздо менее надежны. Поэтому приведенные выше рисунки, может быть, придется немного уточнить, когда появятся более точные данные о теплоемкости.