3.3.5 Отношение между теплопроводностью и электропроводностью: закон Видемана-Франца

Точное измерение низкотемпературной теплопроводности металла может быть весьма затруднительным, а измерения электропроводности, в общем, намного легче. К счастью, благодаря тому, что в металле обычно обе проводимости определяются потоком электронов и в большинстве случаев ограничиваются одними и теми же процессами рассеяния, измерение электропроводности часто дает достаточную информацию о теплопроводности. Рассмотрим металл при низких температурах в пределе рассеяния дефектами, где λe = const. В случае электропроводности электроны переносят заряд, который не зависит от температуры. При низких температурах в пределе рассеяния дефектами или в области остаточного сопротивления (см. ниже) электрическая проводимость σ поэтому не зависит от температуры. В случае теплопроводности к электроны переносят тепло, однако теплоемкость, и, следовательно, теплопроводность в этой области пропорциональны температуре. В результате отношение теплопроводности κ к электропроводности σ пропорционально температуре. К такому же результату можно прийти для области температур, где проводимость, обусловленная переносом электронов, ограничивается упругим электрон-фононным рассеянием на большие углы (ТθD). Скажем, при 4 К и 300 К мы имеем закон Видемана-Франца для отношения этих двух проводимостей

где число Лоренца L0 является универсальной константой, т.е.

for_01_03_37_1

Конечно, мы также придём к (3.37), если используем уравнение для электропроводности металла

, где m* — эффективная масса электронов проводимости и n — число электронов проводимости на атом, при этом в выражении (3.37) для теплопроводности предполагается, что средняя длина свободного пробега электронов для обеих проводимостей одинакова.

Поэтому мы можем использовать измеренную электропроводность вместе с законом Видемана-Франца, чтобы определить тепло­проводность. Во многих случаях это дает правильные результаты, в частности, когда электронное рассеяние является в основном упругим. Это наиболее часто выполняется при низких температурах (примесное рассеяние; Т < θ/10 ) и при высоких температурах (фононное рассеяние; Тθ/10), но не в промежуточном случае, когда потери энергии порядка связаны с электрон-фононным рассеянием. Однако, известны случаи, когда рассчитанные и измеренные теплопроводности отличаются почти на порядок при низких температурах. Как правило, измеренная теплопроводность меньше, чем рассчитанная по закону Видеманна-Франца из данных об электропроводности. Особое значение имеют случаи, когда это наблюдается при кельвиновых и более низких температурах для металлов, обычно используемых в низкотемпературных приборах (например Аl или Ag), в то время как это отклонение отсутствует для других, весьма сходных металлов (например Cu), см. рис. 3.21, или даже не наблюдается для одного и того же металла другими авторами.

Теплопроводность медной фольги толщиной 60 мкм и шириной 20 мм после разлишных обработок, в результате которых RRR=979, 540, 410;

Причина подобных ситуаций в том, что приведенное выше наше рассмотрение было слишком упрощено. В реальных процессах рассеяния обе проводимости могут вносить вклады с различной «эффективностью». Из приведенных уравнений может быть получена весьма полезная формула, а именно

которая позволяет рассчитать электронную среднюю длину свободного пробега λe из измеренной электропроводности σ и коэффициента при теплоемкости γ.

В литературе очень часто так называемое относительное остаточное сопротивление (Residual Resistivity Ratio, RRR) приводится как мера «чистоты» металла (рис. 3.16). Это есть отношение электропроводности при низких температурах, например при температуре кипения жидкого гелия, к электропроводности при комнатной температуре

for_01_03_40

Поскольку проводимость при комнатной температуре определяется рассеянием не на дефектах, а фононным рассеянием, в то время как низкотемпературная проводимость определяется исключительно рассеянием на дефектах, это отношение является непосредственной мерой предельного рассеяния на дефектах. Оно указывает качество материала на основании того, в какой мере увеличивается его проводимость с исчезновением фононного рассеяния при низких температурах. Для таких важных металлов, как Cu и Ag, очень удобны отношения RRR к теплопроводности, которые можно записать в виде

for_01_03_41

(см., однако, выше и рис. 3.216).