3.1.2 Металлы

В металлах, кроме колебаний решетки, мы также имеем (по чти свободно движущиеся) электроны проводимости, которые можно возбудить тепловым образом. Электроны имеют спин 1/2, являются фермионами и подчиняются принципу Паули. Поэтому каждое энергетическое состояние может быть занято не более, чем двумя электронами с антипараллельной спиновой ориентацией.

Получено с помощью электронной спектроскопии. Сплошная линия соответствует функции распределения Ферми

Помещая все наши электроны в соответствующие энергетические состояния, мы заполним эти состояния вплоть до предельной энергии, энергии Ферми, которая выражается как

Типичное значение этой энергии составляет 1 эВ, что соответствует весьма высокой температуре около 104 К. Функция распределения Ферми-Дирака для занятых энергетических состояний электронов при температуре Т есть (рис. 3.3)

с химическим потенциалом μ = EF при Т = 0. Из-за высокого значения температуры Ферми TF = EF / kB комнатная температура является уже «низкой температурой» для электронного газа в том смысле, что он уже находится практически в основном состоянии. И в самом деле, свойства металлов при низких температурах определяются исключительно электронами с энергетическим состоянием, близким к энергии Ферми.

Чтобы заполнить энергетические состояния, мы вначале должны их иметь. Это значит, что мы должны рассчитать для электронов проводимости плотность состояний ge (E). Это довольно просто в рамках «модели свободного электрона», которая достаточно хорошо описывает многие электронные свойства металлов. В результате

Чтобы рассчитать свойства электронов проводимости в металле, мы должны перемножить две величины ge (E) и fe (E).

При температуре Т можно возбудить электроны тепловым образом только вблизи энергии Ферми в области энергий между EFkBТ  и  EF + kBТ ; тепловая энергия не достаточна для возбуждения электронов с энергетическими состояниями ниже энергии Ферми. При температуре Т число «термически вовлеченных» электронов приблизительно дается соотношением

 

Если мы увеличиваем температуру от 0 до Т, то эти электроны испытывают изменение в энергии

, что соответствует электронной теплоемкости

Если делать расчет более строго, то мы должны учесть распределение Ферми-Дирака при конечной температуре, которое лишь немного модифицирует наш результат для электронной теплоемкости:

, где TF дается выражением (3.8). Значения γ (константы Зоммерфельда) для некоторых металлов приведены в табл. 10.1. Результат находится в хорошем согласии с экспериментальными данными (рис. 3.4) и является большим триумфом квантовой механики, модели свободных электронов и фермиевской теории частиц со спином 1/2.

Конечно, для реального металла следует отказаться от модели свободных электронов. Мы должны рассмотреть взаимодействие электронов друг с другом и с ионами, а также учесть симметрию кристалла. Это можно сделать, перейдя от модели свободных электронов к так называемой квазичастичной модели. В этой модели каждый электрон имеет эффективную массу m*, которая отличается от массы m свободных электронов, потому что электроны в металле оказываются «тяжелее» или «легче», чем свободные электроны благодаря их взаимодействию. Мы получаем те же уравнения для теплоемкости, в частности Се ~ Т ; мы только должны заменить массу свободных электронов эффективной массой взаимодействующих электронов. Для теплоемкости, например, это означает, что (3.11) необходимо умножить на m* / m .

С этими результатами мы приходим к следующему уравнению для полной теплоемкости металла при «низкой» температуре:

Здесь «низкая» означает «малая по сравнению с температурой Дебая», если мы рассматриваем фононы, и «малая по сравнению с температурой Ферми», если мы рассматриваем электроны. Если использовать соответствующие константы материала, то мы находим, что при комнатной температуре в теплоемкости металла доминирует фононная часть, а электронная часть обычно становится важной лишь при температурах ниже 10 К; она становится преобладающей при температурах ниже 1 К. Результаты для электронной и решеточной теплоемкостей меда показаны на рис. 3.4, где нанесена зависимость С / Т от Т2 для низких температур.

Теплоёмкостьт C меди, делённая на температуру T, в зависимости от T2

Рисунок показывает, что данные хорошо описываются теорией, обсужденной выше. Он также свидетельствует о том, что очень часто важно правильно выбрать координаты, чтобы получить чувствительный критерий того, соответствуют ли данные ожидаемому поведению.