3.1.1 Изоляторы

Для немагнитных кристаллических изоляторов наиболее важными, и в большинстве случаев единственно возможными возбуждениями, являются колебания атомов, или так называемые фононы. При высоких температурах возбуждены все возможные колебательные состояния атомов. Рассматривая каждый атом как независимый классический гармонический осциллятор, мы можем получить закон Дюлонга-Пти для высокотемпературной теплоемкости материала, содержащего N0 атомов на моль, каждый из которых имеет три степени свободы в их потенциальной и кинетической энергиях. Поскольку вклад в теплоемкость от каждой степени свободы равен kB / 2 (при постоянном объеме материала), то

Однако, когда тепловая энергия kBТ становится порядка энергии, необходимой для возбуждения колебаний решетки, возникает отклонение от закона Дюлонга-Пти, потому что при этом будут возбуждаться не все колебания решетки. Предел применимости закона Дюлонга-Пти определяется соотношением

, где ωph — частота фонона. При этом предельная температура — порядка 100 К.

В 1907 г. А. Эйнштейн показал, что может быть получено разумное описание теплоемкости колебаний решетки, если рассматривать эти колебания квантованными. Он выполнил расчет фононной теплоемкости, описывая колебания решетки как квантованные фононные «частицы» с одной и той же частотой ωE. В этой модели Эйнштейна материал рассматривается состоящим из независимых осцилляторов с энергиями

, где n = 0, 1, 2,… — число возбужденных мод или фононов. М. Планк затем показал, что среднее число возбуждений (n) такого осциллятора или среднее число фононов при температуре Т описывается бозонной функцией распределения

Конечно, эта модель отличается от реальной ситуации, потому что частоты колебаний атомов кристалла не равны, а имеют спектральное распределение, которое характеризуется весьма сложной структурой в зависимости от энергии (рис. 3.1а). При низких температурах эта ситуация снова становится более простой, потому что частотная зависимость плотности состояний фононов при низких энергиях имеет вид ω2. Как показал П. Дебай, при низких температурах плотность состояний фононов gph может быть описана следующей параболической зависимостью от энергии или частоты (рис. 3.1а)

, где Vm — молярный объем, vs — среднее значение скоростей звука в кристалле:

Изменение температуры Дебая индия из-за влияния отклонений от зависимости gph ~ w2

Конечно, этот спектр не распространяется на бесконечность, а обрезается при максимальной частоте, которая определяется из условия, чтобы величина gph содержала все фононные частоты. Эта предельная частота называется частотой Дебая ωD. Соответствующая температура, температура Дебая θD материала, является мерой температуры, ниже которой фононы начинают «вымерзать». Значения θD для нескольких металлов приведены в табл. 10.1. Эти параметры являются константами материалов и принимают большее значение для решеток с легкими атомами, которые сильно связаны, например решетки алмаза (θD = 2000 К), и малое значение — для решеток, которые составлены из тяжелых атомов, связанных слабыми силами, например решетки свинца (θD = 95 К).

Если использовать модель Дебая для расчета внутренней энергии колебаний решетки и взять ее производную по температуре для определения теплоемкости, то получим.

 for_01_03_07

для температур Т < θD / 10.

В последующем не делается различия между теплоемкостями при постоянном давлении и объеме Cp и Cv ; при низких температурах это различие пренебрежимо мало и составляет около 1% при Т ~ θD /2.

Отклонение плотности фононных состояний от зависимости ω2 может быть учтено введением функции θD = F (Т), см. рис. 3.1б. Кубическая зависимость фононной теплоемкости от температуры отражает весьма сильное ее уменьшение с понижением температуры. Поэтому изоляторы, такие как кристаллы редких газов, имеют очень малую теплоемкость при низких температурах. Примеры приведены на рис. 3.2.

Горизонтальная линия соответствует классическому значению Дюлонга-Пти

 

View one comment on “3.1.1 Изоляторы

Comments are closed.